\chapter{格林函数的数学推导及其在偏微分方程中的应用（1828）}
	
	\begin{abstract}
		本文详细探讨了乔治·格林(George Green)于1828年提出的格林函数方法的数学推导过程。通过分析泊松方程的边值问题，我们展示了格林函数如何将微分算子转化为积分算子，从而简化偏微分方程的求解。文章包含原始推导的现代数学表述，并讨论了其在数学物理中的重要意义。
		
		\textbf{关键词：} 格林函数、边值问题、泊松方程、数学物理
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1828年，英国数学家乔治·格林在其开创性论文《论数学分析在电磁理论中的应用》中首次提出了格林函数的概念。这一工具已成为解决偏微分方程边值问题的核心方法之一。
	
	\section{格林函数的定义}
	对于线性微分算子$L$，格林函数$G(\bm{x},\bm{\xi})$满足：
	\begin{equation}
		L G(\bm{x},\bm{\xi}) = \delta(\bm{x} - \bm{\xi})
	\end{equation}
	其中$\delta$为狄拉克δ函数，$\bm{x},\bm{\xi}\in\mathbb{R}^n$。
	
	\section{泊松方程的格林函数推导}
	考虑三维泊松方程：
	\begin{equation}
		\nabla^2 u(\bm{x}) = f(\bm{x})
	\end{equation}
	
	格林通过以下步骤构建解：
	
	\subsection{对称性原理}
	首先注意到拉普拉斯算子的对称性：
	\begin{equation}
		\int_\Omega (v\nabla^2 u - u\nabla^2 v)dV = \oint_{\partial\Omega} \left(v\frac{\partial u}{\partial n} - u\frac{\partial v}{\partial n}\right)dS
	\end{equation}
	
	\subsection{基本解}
	取$u(\bm{x})$为待求解，$v(\bm{x})=G(\bm{x},\bm{\xi})$为格林函数，得到：
	\begin{equation}
		u(\bm{\xi}) = \int_\Omega G(\bm{x},\bm{\xi})f(\bm{x})dV + \oint_{\partial\Omega} \left[G(\bm{x},\bm{\xi})\frac{\partial u}{\partial n} - u\frac{\partial G}{\partial n}\right]dS
	\end{equation}
	
	对于自由空间格林函数，通过解：
	\begin{equation}
		\nabla^2 G = \delta(\bm{x}-\bm{\xi})
	\end{equation}
	得到经典解：
	\begin{equation}
		G(\bm{x},\bm{\xi}) = -\frac{1}{4\pi|\bm{x}-\bm{\xi}|}
	\end{equation}
	
	\section{边值问题的处理}
	格林考虑了三种边界条件：
	
	\begin{itemize}
		\item 第一类（Dirichlet）：$G|_{\partial\Omega}=0$
		\item 第二类（Neumann）：$\frac{\partial G}{\partial n}|_{\partial\Omega}=0$
		\item 第三类（Robin）：混合边界条件
	\end{itemize}
	
	\section{历史意义}
	格林的工作具有革命性意义：
	\begin{itemize}
		\item 首次系统性地将点源解应用于偏微分方程
		\item 为后来的函数论和泛函分析奠定基础
		\item 在电磁学、流体力学等领域有直接应用
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	1828年格林函数的提出标志着数学物理方法的重要进步。其核心思想——通过线性响应函数表示解——至今仍是解决线性偏微分方程的基本工具。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{green1828} 
		Green, G. (1828). \emph{An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism}. Nottingham.
		
		\bibitem{jackson} 
		Jackson, J. D. (1999). \emph{Classical Electrodynamics} (3rd ed.). Wiley.
		
		\bibitem{evans} 
		Evans, L. C. (2010). \emph{Partial Differential Equations} (2nd ed.). AMS.
	\end{thebibliography}
	